第2講 －エネルギーバンドとブリルアンゾーン－ 1 はじめに 前回は一様なポテンシャル中を運動する電子の振る舞 いをポテンシャル0（V(r)=0）の下でシュレーディン ガー波動方程式を解くことによって明らかにした。そ の結果、電子の波動関数は平面波 ( ) exp( )r kr A i で記述され、その第2ブリルアン・ゾーンの配置を変えると、第1ブリルアン・ゾーンと同じ形になる 612 面心立方格子 fcc G L X U X K W G P N H 体心立方格子bcc G A H K M 六方格子 hex X D L S D L S D S L 記号：対称性の高い点 表面上の点：ローマ字 内部の点：ギリシャ文字 いずれも大文字 613 回析実験 未知の逆格子 実格子と逆格子 ブリルアンゾーン境界 ブリルアンゾーンの形 Siのバンドと ブリルアンゾーンの対称点 (3)屏風のようにつながっているのはなぜ？ (4)半導体・金属・半金属・ハーフメタル 半導体・半金属・金属・ハーフメタル ハーフメタル：PtMnSb PtMnSbの磁気光学スペクトル (5) Γ25とか
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ブリルアンゾーン 意味
ブリルアンゾーン 意味-ブリルアン・ゾーンの境界でエネルギーの縮退がとける 逆格子ベクトル エネルギー・バンド、禁制帯（エネルギー・ギャップ）の形成 第1ブリルアン・ゾーン 102 fcc * L X U X K W X ' / 6 Si のバンド構造 間接遷移型 103 GaAs のバンド構造 直接遷移型 104 0 k E エネルギー バンド 禁制帯 電子のンゾーンの大きさを示す。π/a は、GaAs 結晶お よびAlAs 結晶のブリルアンゾーンの大きさを 示す。 図14 図13 内の(ac)のモードのゾーンセン ター(qz=0)における格子変位パターン。(a) 第 一折返しAlAs 型LO フォノン。(b) 第一折返 しGaAs 型LO フォノン。(c) 下分枝
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124 ブリルアンゾーンとゾーンフォールディング 4 125 粒子性と群速度 ーが変位の2 乗に比例することを意味する．なお，この系の境界条件として数学的に取り 扱いやすい周期境界条件(ボルン・フォンカルマンの条件)を課す． この系の原子の運動を1 次元的なものに限定すると，運動27．エネルギーギャップの意味 28．3次元結晶の表し方 29．3次元バンド理論 30．逆格子 31．ブリルアンゾーン 32．3次元結晶のエネルギーバンド 33．孤立した原子からの近似 半導体の性質 34．導体と絶縁体 35．伝導電子の数この物理的意味は以下のように考えられます．結晶中のある点の状況は，その点を結晶格子の 整数個分だけずらした点の状況と全く同じです．そのため直観的に，両方の点の周囲において 電子の波動関数は同じ形状となっていおり，物理量は格子定数倍ずれたところでも一致すると 考えるのは
物性物理学序論 筑波大学 自然学類 担当； 舛本 泰章 自然学系棟B609 TA ； TEXT Condensed Matter Physics （凝縮系の物理） Solid State Physics （固体物理学） キッテル 固体物理学入門（丸善），上下ブリルアンゾーン である。 説明するために、まずは簡単に、下の図のような二次元の正方格子を考えよう。 b1,b2 b 1, b 2 は逆格子ベクトルの基底 (逆格子空間の基本並進ベクトル) である。 任意の逆格子ベクトルは G = n1b1 n2b2 G = n 1 b 1 n 2 b 2 と書けるのだ。 ブリルアンさんが思いついたのかどうかは知らないが、原点まわりで図の青い領域だけを考えれば、他の領域はどんな点でも逆格グラフェンにおいては、ブリルアン ゾーン内でギャップの閉じる点(Dirac コーン)が、同等な 点を除いて2カ所あり(K点、K'点)14)、これらは独立な2個 のDirac フェルミオンと考えられる（フェルミオンダブリ ング）。このダブリング注意して奇数のホール伝導
などを参照していただく。ブリルアン・ゾーンを自分で描きたいの であればMathematicaのノートブックMakeBZnbで書ける。 g2 g1 g3 L G W K X U 図1 FCCのブリルアン・ゾーン バンド計算、DOS計算などはプログラムpwbcdで計算する。pwbcdに関する入出力ファイ ルの関係は図4のようになっている。計算の後の 基本並進対称ベクトルから逆格子ベクトルを作ります。 逆格子ベクトルは並進対称ベクトルと双対ですから、どちらも格子の対称性を表しています(互いにフーリエ変換の関係)。 逆格子ベクトルから作る格子の中で最も小さい空間(ウィグナーサイツセル)を作ると、それがブリルアンゾーンになります。 結晶の波動、電子の波動等を考える時に、重要になります。 ナイス！ あわせて知りすでに述べたように、 第一ブリルアンゾーンは、逆格子原点のまわりのボロノイ多面体として定義される。 そこで、下中右図のように、 原点と他の逆格子点との垂直二等分面を全て点線で描いてみる。 これらの垂直二等分面が原点の周りで作る最小 の多面体が「第一ブリルアンゾーン」であり、下右図の太い六角形となる。 注：この結果、第一ブリルアンゾーンの六角形状の向きは実格子の格子点
周期境界条件 ボルン フォン カルマン境界条件 波数kとは ばたぱら
半導体物理学
第 n ブリルアン・ゾーン 二次元正方格子 第1BZ 第2BZ 第3BZ fcc格子 （逆空間は bcc） フェルミ面は、 ブラッグ面で切り離される。 27 原点との間に、 ブラッグ面が n−1 枚ある領域 を、 『第 n ブリルアン・ゾーン』 と呼ぶ。 fcc格子のフェルミ面 28 Ne/Nuc= 1 Ne/Nuc= 2 Ne/Nuc= 3 Ne/Nuc= 4 第1BZ 第2BZ 第3BZ 周1 第0章 序 01 諸定数 アボガドロ(Avogadro)定数：NA = (74) 1023mol 1 ボルツマン(Boltzmann)定数：kB = (79) 10 23m2kgs 1K 1(J K 1) 気体定数 R= NAkB = (48)JK 1mol 1 プランク(Planck)定数 h= (81) 10 34m2kg=s(J s);ℏ = h=(2ˇ) 電子の静止質量：me = (11) 10 31kg 電子の素電荷 e= (98) 10 19Cブリュアンゾーンは固体物理学において、波の散乱による回折条件を表現するために広く用いられている。 これは、電子のエネルギーバンド理論などの説明に便利である。 たとえば波数ベクトルがブリュアンゾーン上にあるとき、電子波の ブラッグ反射 が起きる。 結晶内の電子とブリュアンゾーン 量子力学 では、波動関数をψとし、 R を実空間での結晶内の適当な実格子ベクトルとすると、 対称
佐藤勝昭 東京農工大学 工学部物理システム工学科 Ppt Download
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ることを意味する。これを第一ブリルアンゾーンという。 E ika i n ika n a a i k ik a ik a k k e e x x a → = = ⋅ ′⋅ ⋅ π π ψ ψ 2) 2 (() ・・(14) 金属 伝導帯 N L a L a = / (2 / ) (2 / ) π π 個状態数 E 伝導帯 = 個の状態数 半導体 E 価電子帯 E 伝導帯 絶縁体 図3：第一ブリルアンゾーン k a π − a π 図4：周期ブリルアン・ゾーン 固体中の電子にとって、 k = k G で表現されるブラッグ面が、重要な意味をもつこ とがわかった。従って、このブラッグ面に合わせて逆空間の繰り返しの単位胞を設定す ると、何かと都合が良い。無数に存在する逆格子ベクトルG のひとつひとつに、対応す るブラッグ面がブリルアンゾーン あるため、kとkGは等価であり、これは第一ブリユアンゾーンのみを考えればよいことを意味する。 k点 ブリュアンゾーン内においてメッシュによって区分された各点(Sampling points)のことをk点（kpoint）と呼ぶ。ブリュアンゾーン上のk点のうち、対称性の良い点に特に名称
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固体物理の基礎 上 1 固体電子論概論 アシュクロフト マーミン とね日記
3 ため、自由電子を表すとして、 係 数を（ － ）にとった。 y,z に 関 しても、同様の 扱 いを後で 行 う。 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 x k x mE x mE x x x x x x x x x x x x φ φ φ φ φ =− =−リルアンゾーン(miniBrillouin zone)の形成である。 A/B超 格子では、A 層の層厚をd A、B 層の層厚をd Bとすると、積 層方向（z方向と定義する）にナノメートルオーダーの人 工的周期(D= d A d B) が生じる。 この超格子周期は、バル ク結晶の格子定数（a 0：04 ～07 nm程度）よりも長いた めに、積層方向のブリルアンゾーンの領域(－π/D ≤k z ≤π/D) は、バルク結晶よりも顕著に小さいものとそのブリルアンゾーンは図2(b)の様によく知ら れるfcc のものとほぼ同じ形を持つ．結晶変位の 無いfcc であればT点はL点と同じ対称性を持つ が，わずかな結晶変位の為，両者は等価でなくな る．L点は1 間隔で3つあるのに対し，T点は 1つだけである．
物性物理学１ ４ 格子振動 フォノン Yukishiomi Note
半導体物理学
したがって、逆格子ベクトルが異なる波数ベクトルは、同じブロッホ状態のセットを特徴付けるという意味で同等です。 第一ブリルアンゾーンは、 の値の制限集合である K それらのどの2つが同等ではない、まだすべての可能という特性を持つ kは 第一ブリルアンゾーン内の1つ（1つのみ）のエネルギーが高くなり、ブリルアンゾーンの境 界で折り返す。最外殻の電子軌道にはほぼ 同じエネルギーと運動量の電子がつまってい て、そのエネルギーに対応する軌道の半径 によって格子定数が定まる。 シリコン結晶のフェルミ面 結晶には多数の対称面があるため、実際のブ ルリアンゾ�井戸層の場合はV=0）を意味している．図2は，上記のKP ミニブリルアンゾーン端である 点や高次のミニバンドの光学遷移につい ては，光変調反射(photoreflectance PR) 分光法や電場変調反射 (electroreflectance ER)分光法などの変調分光法による測定が極めて有力で ある5, 1 4 ～)．変調分
ウィグナー ザイツセルとブリルアンゾーン 化学徒の備忘録 かがろく 化学系ブログ
バンド描像
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